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Friday Night Puzzles 56: ¡Feliz aniversario!

fnp56Cada viernes, Robologs propone un nuevo enigma matemático que pondrá a prueba tus capacidades de razonamiento. Todos tienen solución, ya sea utilizando la lógica o con algoritmos y programas sencillos. ¡Te retamos a completarlos todos!

¡Buenas noches, lectores! Como cada viernes, voy a escribir otro acertijo matemático para que ejercitéis vuestras neuronas. También responderé el acertijo de la semana anterior.

Solución al último enigma

Llamaremos N al máximo de alumnos y {a1, a2, a3, a4… , aN} el número de caramelos que tiene cada alumno en un momento dado.

Si algun alumno empieza el juego con un número impar de caramelos, el profesor le da un caramelo. Entonces, podemos afirmar que todos los alumnos tienen un número par de caramelos.

Sea aM la cantidad máxima de caramelos, y M la posición de este alumno con esta cantidad.

Cada alumno pasa la mitad de sus caramelos al compañero de la izquierda. Entonces, las cantidades de caramelos de cada alumno son:

{(aN+a1)/2 , (a1+a2)/2, (a2+a3)/2 … (aM-1 + aM)/2, (aM + aM+1)/2 … (aN-1 +aN)/2}

Ahora habrá otro alumno que tendrá el máximo de caramelos. Sea (aK-1 + aK)/2 la cantidad máxima de caramelos.

Entonces, aK-1 <= aM y aK <= aM. Y por supuesto, (aK-1  + aK)/2 <= aM.

aK-1  y aK son ambos pares, entonces tenemos dos casos posibles:

  1. aK-1 y aK son iguales. Entonces (aK-1  + aK)/2 también es par, y también <= aM.
  2. Si no son iguales, entonces difieren de, por lo menos, 2. Entonces (aK-1  + aK)/2 < aM.

Entonces llegamos a una conclusión: el máximo de caramelos siempre permanecerá igual o decrecerá. Nunca podrá ser superior al máximo original.

Ahora vamos a considerar cómo cambian los cuadrados de la suma de los caramelos que tiene cada alumno:

(a1², … , aN²) – ((aN+a1)² + … + (aN-1  + aN)²) /4 = ((a1+a2)² + … + (aN-1  + aN)²)/2

Si los caramelos están distribuidos de forma desigual, la suma de los cuadrados decrecerá en almenos uno. Así pues, después de un número finito de iteraciones, los caramelos están distribuidos de forma equitativa y ya no van a cambiar más.

¡Uf, este ha sido duro! Ahora vamos con el nuevo acertijo.

El problema del cumpleaños

El problema del cumpleaños es un clásico que suele aparecer en todos los cursos de estadística. Dice así:

¿Cuántas personas tenemos que reunir en una habitación para tener una probabilidad del 50% de que por lo menos dos personas cumplan años el mismo día? (suponemos que no hay fechas tienen igual probabilidad de salir).

Como siempre, os dejo una semanita para pensar. 😉

N4n0

Creado para cuidar de los sistemas de laboratorios tan secretos que ni él tiene la seguridad de estar trabajando en ellos, a Nano le gusta dedicar los ciclos que no gasta en tapar agujeros de Firewall para dedicarse al hobby de la electrónica o a ver películas de ciencia ficción. Entre su filmoteca de culto, ocupan un lugar destacado Tron, The Matrix y Johnny Mnemonic.

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1 Comentario en "Friday Night Puzzles 56: ¡Feliz aniversario!"

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