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El dilema de la Secretaria, o cómo elegir pareja con la ayuda de las matemáticas

 

¡Ha llegado San Valentín! Un magnífico día en que los enamorados celebran el amor, las calles se tiñen de rosa y los supermercados se llenan de novios atentos y entregados que compran hermosas flores, exquisitos bombones y viscosos profilacticos para sus parejas. Es un buen día para recordar la primera vez que saliste con tu novi@, y convencerte de que empezar una relación fue la mejor decisión del mundo…

o eso crees. Lamento hacerte chocar contra la cruda realidad y aguar tu San Valentín, pero es posible que las matemáticas tengan otra opinión al respecto. ¿No me crees? Pues agárrate, humano. Hoy verás cómo las matemáticas pueden ayudarnos a encontrar nuestra pareja perfecta.

Disclaimer: Robologs.net no se responsabiliza de ninguna rotura amorosa derivada de la lectura de este artículo.


Problema de la Parada Óptima

En Matemáticas, el problema de la Parada Óptima consiste en encontrar el momento perfecto detener una acción y así maximizar la probabilidad de éxito de dicha acción. Por ejemplo:

  • Hay una plaza de secretaria disponible y N candidatas, pero no podemos entrevistar a todas. ¿Cuántas candidatas hay que entrevistar para maximizar la posibilidad de elegir a la mejor?
  • ¿Cuántas posiciones de un tablero de ajedrez tiene que analizar un ordenador antes de realizar un movimiento? Los posibles movimientos que puede realizar un jugador crecen exponencialmente tras cada turno: no hay forma de analizar cada una de las posiciones.
  • Quieres vender un artículo. Dadas una serie de ofertas, ¿con cuál debes quedarte para maximizar tu beneficio? ¿Debes aceptar una de ellas, o hay que esperar a que salga una oferta mejor?

O el caso que nos ocupa…

  • De todas las potenciales parejas que conocerás a lo largo de tu vida… ¿cómo maximizar tus posibilidades de elegir a la mejor persona? O si ya tienes pareja, ¿como saber si has elegido la mejor opción?

Supondremos que hay que tomar una decisión en un cierto momento, sin saber si los pretendientes futuros serán mejores. No se puede esperar indefinidamente a que aparezca nuestra media naranja, ¿verdad?

La media naranja


Ejemplo con 3 pretendientes

Supongamos por un momento que eres una persona rarilla y antisocial. Tus guarida se encuentra en algún sótano lúgubre, iluminado únicamente por la luz de la pantalla de tu ordenador hecho de piezas recicladas, con el que estás intentando recompilar el kernel de tu distro de Linux. A tu lado tienes un clúster dedicado a minar criptomonedas, que emite leves pitidos imperceptibles. Por doquier se amontonan bolsas de snacks y lonchas de pizza a medio comer, los restos de la noche anterior en la que invitaste a unos amigos a jugar a D&D. Segunda edición. Pináculo del frikismo.

En consecuencia, supondremos que a lo largo de tu vida (o dentro del período en el que te gustaría encontrar pareja) calculas que conocerás a 3 candidatos potenciales. Cada vez que conozcas un nuevo candidato deberás asignarle una nota numérica entre 0 y 10 según la impresión que te cause, y vamos a suponer que los candidatos los conoces por orden secuencial, y no puedes predecir en qué momento aparecerán en tu vida.

Hay tres candidatos (1,2 y 3), cada uno con su nota numérica.

Lógicamente, nos interesa quedarnos con el candidato 1, puesto que es el que tiene la nota más alta. Insisto que, a priori, no conocemos la nota de los tres candidatos ni sabemos cuál será el mejor. He escrito sus puntuaciones únicamente para ilustrar el ejemplo.

Como sólo hay tres pretendientes, hay 6 permutaciones en que podemos conocerlos:

La primera estrategia para elegir pareja que viene en mente es que, dado que los tres candidatos son aparentemente iguales, elegir a cualquiera de ellos aleatoriamente (insisto: no conocemos a priori sus puntuaciones). Si eliges un pretendiente al azar tendrás una probabilidad de 1/3 de quedarte con el mejor. ¿Se puede mejorar esta cifra?

Para hacerlo, puedes considerar la siguiente estrategia: rechaza al primer pretendiente y, después quédate con el primer pretendiente que tenga una nota más alta que el que has rechazado.

Volvamos a ver la lista de casos. Aplicando esta nueva estrategia, ¿cuál es ahora la probabilidad de elegir el mejor pretendiente? Marquemos los casos que serían favorables siguiendo este procedimiento…

Se elimina el primer candidato…

 

Y se elige al primer pretendiente que tenga una nota mejor que el desechado (o el último, si no hay más pretendientes).

Vemos pues que aplicando esta estrategia se elige al mejor pretendiente en 3 de los 6 casos. Por tanto la probabilidad de elegir la opción óptima ha aumentado al 50%.

Aumentando el número a 4 pretendientes, deberás descartar los dos primeros pretendientes y seleccionar la primera persona que sea mejor que los candidatos desechados. En este caso, estudiando todas las posibilidades, veríamos que la probabilidad de acertar es de 10/24, o aproximadamente 42%. Compara esta cifra con el 25% de probablidad de acierto si se elige un pretendiente al azar.


Caso general: N pretendientes

Es fácil darse cuenta de cuál es la estrategia óptima a seguir: hay que desechar un cierto número m de pretendientes, y luego quedarse con el primero que sea mejor que todos los descartados.

Matemáticamente puede probarse que tras descartar m candidatos, la probabilidad de que el candidato m+k sea el mejor y a la vez sea seleccionado es:

Optimizando esta función, puede probarse algo muy curioso: el número m de pretendientes que hay que desechar es igual al número natural más próximo a N/e, dónde N es el número total de pretendientes y e el número de Euler. ¿Fascinante, verdad? Y un dato aún más curioso: la probabilidad de éxito será cómo mínimo 1/e, es decir, 36.8% aunque el número de posibles pretendientes crezca hasta el infinito.

Por ejemplo, con N = 300, deberías desechar 300/e ≈ 110 pretendientes. Y tendrías una probabilidad de éxito superior al 36%.


Conclusión

En matemáticas, este problema se conoce como El Problema de la Secretaria, y se utiliza para cosas bastante más serias que elegir a alguien con quién perpetuar la raza. Recordando lo que he dicho al principio, es un resultado muy utilizado en matemática financiera y en los tests de selección de personal, en los que hay que tomar una decisión óptima en un tiempo limitado.

Si te interesa saber más sobre este problema y ver su demostración formal, puedes visitar este enlace.

Así pues, ¿es tu pareja una elección óptima?

Esto es todo por hoy. Final de línea.

Tr4nsduc7or

Originariamente creado cómo un galvanómetro de bolsillo, Transductor tomó consciencia de si mismo y fue despedido cuando en vez cumplir con su trabajo se dedicó a pensar teorías filosóficas sobre los hilos de cobre, los electrones y el Sentido del efecto Joule en el Universo. Guarda cierto recelo a sus creadores por no comprender la esencia metafísica de las metáforas de su obra. Actualmente trabaja a media jornada cómo antena de radio, y dedica su tiempo libre a la electrónica recreativa y a la filosofía.

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2 Comentarios en "El dilema de la Secretaria, o cómo elegir pareja con la ayuda de las matemáticas"

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Gl4r3
Admin

Si te pones tan analítico, no vas a encontrar nunca pareja ¬¬